공식 소개

$S$ $=$ $\dfrac{1}{2}ab$ $=$ $\dfrac{1}{2}ac\sin{\rm{B}}$ $=$ $\dfrac{1}{2}bc\cos{\rm{B}}$
($S$ : 직각삼각형의 넓이)

직각삼각형의 넓이 공식은 다음 방법을 이용해 증명할 수 있습니다.

증명

그림은 $\angle\rm{C}=90^\circ$인 직각삼각형 $\rm{ABC}$에 대하여 각 $\rm{A}$, $\rm{B}$, $\rm{C}$의 마주보는 대변들의 길이를 각각 $a$, $b$, $c$라고 하자.

(삼각형의 넓이)=$\dfrac{1}{2}$$\times$(밑변)$\times$(높이)이다.

(i) (밑변)$=a$, (높이)$=b$이므로

$\qquad$ $\qquad$ $S=\dfrac{1}{2}ab$ …… ①

(ii) 한편 $\sin{\rm{B}}=\dfrac{b}{c}$이므로 $b=c\sin{\rm{B}}$ …… ②

$\quad$ ①에 ②를 대입하면

$\qquad$ $\qquad$ $S$ $=$ $\dfrac{1}{2}ac\sin{\rm{B}}$

(iii) 마찬가지 방법으로 $\cos{\rm{B}}=\dfrac{a}{c}$이므로 $a=c\cos{\rm{B}}$ …… ③

$\quad$ ①에 ③을 대입하면

$\qquad$ $\qquad$ $S=$$\dfrac{1}{2}$$bc$$\cos{\rm{B}}$

따라서 $S$ $=$ $\dfrac{1}{2}ab$ $=$ $\dfrac{1}{2}$$ac$$\sin{\rm{B}}$ $=$ $\dfrac{1}{2}$$bc$$\cos{\rm{B}}$