004. 피타고라스의 정리

'피타고라스의 정리' 공식 소개

$\mathrm{\angle }$ $\mathrm{C}$ $=90$ ${}^{\circ }$인 직각삼각형 $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$ $\iff$ $c^2$ $=$ $a^2$ $+$ $b^2$

피타고라스의 공식은 유클리드의 증명, 가필드의 증명, 바스카라의 증명 등 아주 다양한 증명방법이 있습니다.

이번 글에서는 '원의 접선과 할선 사이의 비례 관계'를 이용해 피타고라스의 정리를 증명해보고자 합니다.

먼저 '원의 접선과 할선 사이의 비례 관계'에 대해서 먼저 살펴봅시다.

 

원의 접선과 할선 사이의 비례 관계

원의 외부에 있는 한 점 $\mathrm{P}$에서 이 원에 그은 접선과 할선이 원과 만나는 점을 각각 $\mathrm{T}$, $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$라고 하면 ${\overline{\mathrm{P}\mathrm{T}}}^2$ $=$ $\overline{\mathrm{P}\mathrm{A}}$ $\times$ $\overline{\mathrm{P}\mathrm{B}}$

 

 

'원의 접선과 할선 사이의 비례 관계'의 증명은 다음과 같습니다.

 

그림과 같이 접선과 현이 이루는 각과 원주각 사이의 관계에 의해

$$ $$ $\mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{T}\mathrm{P}$ $=$ $\mathrm{\angle }$$\mathrm{T}\mathrm{B}\mathrm{P}$

$$ $$ $\mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{P}\mathrm{T}$는 공통

이므로

$$ $$ $\mathrm{△}\mathrm{A}\mathrm{T}\mathrm{P}$ $\sim$ $\mathrm{△}\mathrm{T}\mathrm{B}\mathrm{P}$ (AA닮음)

이다.

따라서

$$ $$ $\overline{\mathrm{P}\mathrm{T}}$ : $\overline{\mathrm{P}\mathrm{B}}$ $=$ $\overline{\mathrm{P}\mathrm{A}}$ : $\overline{\mathrm{P}\mathrm{T}}$

이므로 

$$ $$ ${\overline{\mathrm{P}\mathrm{T}}}^2$ $=$ $\overline{\mathrm{P}\mathrm{A}}$ $\times$ $\overline{\mathrm{P}\mathrm{B}}$

 

'피타고라스의 정리' 증명

그림과 같이 원의 중심을 $\mathrm{O}$, 원의 외부에 있는 한 점 $\mathrm{P}$에서 이 원에 그은 접선과 할선이 원과 만나는 점을 각각 $\mathrm{T}$, $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$라고 하자.

원의 접선과 할선 사이의 비례 관계에 의해

$$ $$ ${\overline{\mathrm{P}\mathrm{T}}}^2$ $=$ $\overline{\mathrm{P}\mathrm{A}}$ $\times$ $\overline{\mathrm{P}\mathrm{B}}$

이고, $\overline{\mathrm{O}\mathrm{A}}$ $=$ $\overline{\mathrm{O}\mathrm{B}}$ $=$ $\overline{\mathrm{O}\mathrm{T}}$이므로

$$ $$ $\overline{\mathrm{P}\mathrm{A}}$ $=$ $\overline{\mathrm{P}\mathrm{O}}$ $-$ $\overline{\mathrm{O}\mathrm{A}}$ $=$ $\overline{\mathrm{P}\mathrm{O}}$ $-$ $\overline{\mathrm{O}\mathrm{T}}$

$$ $$ $\overline{\mathrm{P}\mathrm{B}}$ $=$ $\overline{\mathrm{P}\mathrm{O}}$ $+$ $\overline{\mathrm{O}\mathrm{B}}$ $=$ $\overline{\mathrm{P}\mathrm{O}}$ $+$ $\overline{\mathrm{O}\mathrm{T}}$

이므로

$$ $$ $\overline{\mathrm{P}\mathrm{T}}$${}^2$ $=$ $\overline{\mathrm{P}\mathrm{A}}$ $\times$ $\overline{\mathrm{P}\mathrm{B}}$

$$ $$ $$ $=$ $($ $\overline{\mathrm{P}\mathrm{O}}$ $-$ $\overline{\mathrm{O}\mathrm{T}}$ $)$ $\times$ $($ $\overline{\mathrm{P}\mathrm{O}}$ $+$ $\overline{\mathrm{O}\mathrm{T}}$ $)$

$$ $$ $$ $=$ $\overline{\mathrm{P}\mathrm{O}}$${}^2$ $-$  $\overline{\mathrm{O}\mathrm{T}}$${}^2$

즉, 

$$ $$ $\overline{\mathrm{P}\mathrm{O}}$${}^2$ $=$  $\overline{\mathrm{P}\mathrm{T}}$${}^2$  $+$  $\overline{\mathrm{O}\mathrm{T}}$${}^2$

따라서 $\overline{\mathrm{P}\mathrm{T}}$ $=$ $a$, $\overline{\mathrm{O}\mathrm{T}}$ $=$ $b$, $\overline{\mathrm{P}\mathrm{O}}$ $=$ $c$라 하면,

$$ $$ $c^2$ $=$ $a^2$ $+$ $b^2$