이등변삼각형의 넓이 공식 소개

$S$ $=$ $\dfrac{a}{4}$ $\sqrt{4b^{2}-a^{2}}$
($S$ : 이등변삼각형의 넓이)

이등변삼각형의 넓이 공식을 증명하기 전에 이등변삼각형의 성질들에 대해서 알아봅시다.

(네 개의 성질 중 한 개의 성질을 정의로 둔다면 이를 제외한 나머지 세 개의 성질을 정의를 바탕으로 증명 가능합니다.)

이등변삼각형 $\rm{ABC}$의 성질

삼각형 $\rm{ABC}$의 두 변의 길이가 같다.

$\Leftrightarrow$ 삼각형 $\rm{ABC}$의 두 각의 크기가 같다.

$\Leftrightarrow$ 삼각형 $\rm{ABC}$의 한 내각의 이등분선이 이 내각의 마주 보는 변을 수직이등분한다.

$\Leftrightarrow$ 삼각형 $\rm{ABC}$의 한 꼭짓점에서 내린 수선의 발이 이 꼭짓점의 마주 보는 변을 이등분한다.

$\overline{\rm{AB}}$ $=$ $\overline{\rm{AC}}$인 이등변삼각형 $\rm{ABC}$에 대하여 점 $\rm{A}$에서 선분 $\rm{BC}$에 내린 수선의 발을 $\rm{H}$라 하자.

이때 직선 $\rm{AH}$는 선분 $\rm{BC}$를 수직이등분한다.

직각삼각형 $\rm{ABH}$에 대한 피타고라스 정리에 의해

$\qquad$ $\qquad$ $\overline{\rm{AB}}^{2}$ $=$ $\overline{\rm{BH}}^{2}$ $+$ $\overline{\rm{AH}}^{2}$

$\qquad$ $\qquad$ $b^{2}$ $=$ $\left( \dfrac{a}{2} \right)^{2}$ $+$ $\overline{\rm{AH}}^{2}$

$\qquad$ $\qquad$ $\overline{\rm{AH}}^{2}$ $=$ $b^{2}$ $-$ $\dfrac{a^{2}}{4}$

$\qquad$ $\qquad$ $\overline{\rm{AH}}$ $=$ $\sqrt{b^{2}-\dfrac{a^{2}}{4}}$ $=$ $\dfrac{1}{2}$ $\sqrt{4b^{2}-a^{2}}$

이므로

$\qquad$ $\qquad$ $S$ $=$ $\dfrac{1}{2}$ $\times$ (밑변) $\times$ (높이)

$\qquad$ $\qquad$ $\quad$ $=$ $\dfrac{1}{2}$ $\times$ $\overline{\rm{BC}}$ $\times$ $\overline{\rm{AH}}$

$\qquad$ $\qquad$ $\quad$ $=$ $\dfrac{1}{2}$ $\times$ $a$ $\times$ $\dfrac{1}{2}$ $\sqrt{4b^{2}-a^{2}}$

$\qquad$ $\qquad$ $\quad$ $=$ $\dfrac{a}{4}$ $\sqrt{4b^{2}-a^{2}}$

따라서, $S$ $=$ (이등변삼각형의 넓이) $=$ $\dfrac{a}{4}$ $\sqrt{4{b^{2}}-{a^{2}}}$