007. 헤론의 공식

헤론의 공식 소개

$S$ $=$ $\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ (단, $s$ $=$ $\dfrac{a+b+c}{2}$) ($S$ : 삼각형의 넓이)

헤론의 공식은 삼각형의 세 변의 길이가 주어졌을 때, 삼각형의 넓이를 구하는 공식입니다.

이번 글에서는 헤론의 공식을 2가지 방법으로 증명해보고자 합니다.

$\qquad$  첫 번째 증명 방법은 $\cos$법칙을 이용한 증명입니다.

$\qquad$  두 번째 증명 방법은 피타고라스의 정리를 이용한 증명입니다.

먼저 첫 번째 방법으로 증명을 하기 전에 $\cos$법칙부터 살펴보도록 합시다.

$\cos$법칙

$\cos$법칙은 삼각형에서 다음과 같은 상황이 주어졌을 때 사용하는 수학 공식입니다.

$\qquad$ ① 두 변의 길이와 그 사이에 끼인 각이 주어졌을 때, 나머지 한 변의 길이를 찾고 싶은 상황

$\qquad$ ② 세 변의 길이가 주어졌을 때, 한 각의 크기를 찾고 싶은 상황

특히 ②의 상황에서 $\cos$법칙을 사용하면 그 각에 대한 $\cos$의 값을 알 수 있는데, 역삼각함수(=$\cos^{-1}$)을 이용하면 그 각의 크기도 찾을 수 있습니다.

그림과 같은 삼각형 $\rm{ABC}$에 대하여 $\cos{\rm{A}}$ $=$ $ \dfrac{ b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}$

 

헤론의 공식 증명1 - $\cos$법칙을 이용

삼각형 $\rm{ABC}$에 대하여 삼각형의 넓이 $S$는

$\qquad$ $\qquad$ $S$ $=$ $\dfrac{1}{2}ac\sin{B}$

이다. 한편 $\cos$법칙에 의해

$\qquad$ $\qquad$ $\cos{\rm{B}}$ $=$ $\dfrac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}$

이므로

$\qquad$ $\qquad$ $\sin{\rm{B}}$ $=$ $\sqrt{1-\cos^{2}{\rm{B}}}$ $=$ $\sqrt{1-\bigg( \dfrac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac} \bigg)^{2}}$

이다. 즉, 삼각형의 넓이 $S$는

$\qquad$ $\qquad$ $S$ $=$ $\dfrac{1}{2}ac\sin{B}$

$\qquad$ $\qquad$     $=$ $\dfrac{1}{2}ac$$\sqrt{1-\bigg( \dfrac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac} \bigg)^{2}}$

$\qquad$ $\qquad$     $=$ $\dfrac{1}{2}ac$$\sqrt{\dfrac{ 4a^{2}c^{2} - \big( a^{2} + c^{2} - b^{2} \big)^{2} }{ 4a^{2}c^{2} }}$

$\qquad$ $\qquad$      $=$ $\sqrt{ \dfrac{ 4a^{2}c^{2} - \big( a^{2} + c^{2} - b^{2} \big)^{2} }{ 16 } }$

$\qquad$ $\qquad$      $=$ $\sqrt{ \dfrac{ \big\{ 2ac + (a^{2}+c^{2}-b^{2}) \big\} \big\{ 2ac - (a^{2}+c^{2}-b^{2}) \big\} }{16}}$

$\qquad$ $\qquad$      $=$ $\sqrt{ \dfrac{ \big\{ (a^{2} + 2ac + c^{2}) - b^{2}) \big\} \big\{  b^{2} - (a^{2} - 2ac +c^{2}) \big\} }{16}}$

$\qquad$ $\qquad$      $=$ $\sqrt{ \dfrac{ \big\{ (a+c)^{2} - b^{2}) \big\} \big\{  b^{2} - (a-c)^{2} \big\} }{16}}$

$\qquad$ $\qquad$      $=$ $\sqrt{ \dfrac{ \big\{ (a+c)+b \big\} \big\{ (a+c)-b \big\} \big\{ b+(a-c) \big\} \big\{ b-(a-c) \big\} }{16}}$

$\qquad$ $\qquad$      $=$ $\sqrt{ \dfrac{a+b+c}{2} \times \dfrac{-a+b+c}{2} \times \dfrac{a-b+c}{2} \times \dfrac{a+b-c}{2} }$

$s$ $=$ $\dfrac{a+b+c}{2}$라 하면 삼각형의 넓이 $S$는

$\qquad$ $\qquad$ $S$ $=$ $\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

 

헤론의 공식 증명2 - 피타고라스의 정리를 이용

삼각형 $\rm{ABC}$에 대하여 꼭짓점 $\rm{A}$에서 변 $\rm{BC}$에 내린 수선의 발을 $\rm{H}$라 하자.

그리고 $\overline{\rm{AH}}=h$, $\overline{\rm{HC}}=x$라 하자.

삼각형의 넓이 $S$는

$\qquad$ $\qquad$ $S=\dfrac{1}{2}ah$

이고 피타고라스의 정리에 의해

$\qquad$ $\qquad$ $b^{2} = x^{2} + h^{2}$

$\qquad$ $\qquad$ $c^{2} = (a-x)^{2}+h^{2}$

이므로

$\qquad$ $\qquad$ $h^{2} = b^{2} - x^{2}$  ……①

$\qquad$ $\qquad$ $h^{2} = c^{2} - (a-x)^{2}$ ……②

이다. ①, ②에 의해

$\qquad$ $\qquad$ $b^{2}-x^{2}=c^{2}-(a-x)^{2}$

이고, 이 식을 정리하면

$\qquad$ $\qquad$ $b^{2}-x^{2}=c^{2}-(a^{2}-2ax+x^{2})$

$\qquad$ $\qquad$ $b^{2}-x^{2}=c^{2}-a^{2}+2ax-x^{2}$

$\qquad$ $\qquad$ $2ax=a^{2}+b^{2}-c^{2}$

$\qquad$ $\qquad$ $x= \dfrac{1}{2a}(a^{2}+b^{2}-c^{2}) $……③

③을 ①에 대입하면

$\qquad$ $\qquad$ $h^{2}=b^{2}- \bigg\{ \dfrac{1}{2a}(a^{2}+b^{2}-c^{2}) \bigg\}^{2}$

$\qquad$ $\qquad$      $=b^{2} - \dfrac{1}{4a^{2}}(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}$

$\qquad$ $\qquad$      $=\dfrac{1}{4a^{2}} \{ 4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2} \}$

즉,

$\qquad$ $\qquad$ $h=\dfrac{1}{2a} \sqrt{4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}$

따라서 삼각형의 넓이 $S$는

$\qquad$ $\qquad$ $S=\dfrac{1}{2}ah$

$\qquad$ $\qquad$      $=\dfrac{1}{2}a \times \dfrac{1}{2a} \sqrt{4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}$

$\qquad$ $\qquad$      $=\sqrt{ \dfrac{4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}{16} }$

$\qquad$ $\qquad$      $=$ $\sqrt{ \dfrac{ 4a^{2}c^{2} - \big( a^{2} + c^{2} - b^{2} \big)^{2} }{ 16 } }$

$\qquad$ $\qquad$      $=$ $\sqrt{ \dfrac{ \big\{ 2ac + (a^{2}+c^{2}-b^{2}) \big\} \big\{ 2ac - (a^{2}+c^{2}-b^{2}) \big\} }{16}}$

$\qquad$ $\qquad$      $=$ $\sqrt{ \dfrac{ \big\{ (a^{2} + 2ac + c^{2}) - b^{2}) \big\} \big\{  b^{2} - (a^{2} - 2ac +c^{2}) \big\} }{16}}$

$\qquad$ $\qquad$      $=$ $\sqrt{ \dfrac{ \big\{ (a+c)^{2} - b^{2}) \big\} \big\{  b^{2} - (a-c)^{2} \big\} }{16}}$

$\qquad$ $\qquad$      $=$ $\sqrt{ \dfrac{ \big\{ (a+c)+b \big\} \big\{ (a+c)-b \big\} \big\{ b+(a-c) \big\} \big\{ b-(a-c) \big\} }{16}}$

$\qquad$ $\qquad$      $=$ $\sqrt{ \dfrac{a+b+c}{2} \times \dfrac{-a+b+c}{2} \times \dfrac{a-b+c}{2} \times \dfrac{a+b-c}{2} }$

$s$ $=$ $\dfrac{a+b+c}{2}$라 하면 삼각형의 넓이 $S$는

$\qquad$ $\qquad$ $S$ $=$ $\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

 

예제

 세 변의 길이가 5, 5, 4인 삼각형의 넓이를 구하시오.

예제 풀이1(헤론의 공식 사용하는 경우)

헤론의 공식에 의해

$\qquad$ $\qquad$ $s$ $=$ $\dfrac{5+5+4}{2}$ $=$ $\dfrac{14}{2}$ $=$ $7$

이므로

$\qquad$ $\qquad$ $S$ $=$ $\sqrt{7 \times (7-5) \times (7-5) \times (7-4)}$

$\qquad$ $\qquad$    $=$ $\sqrt{7 \times 2 \times 2 \times 3}$

$\qquad$ $\qquad$    $=$ $2\sqrt{21}$

예제 풀이2(헤론의 공식 사용하지 않는 경우)

삼각형의 세 변의 길이가 주어진 경우에 삼각형의 넓이 구하기 문제에서 굳이 헤론의 공식을 사용하지 않아도 됩니다. $\cos$법칙을 사용하여 식을 정리하여 도출한 것이 헤론의 공식이기 때문에 이용하여, 한 각에 대한 $\sin$의 값을 얻어서 삼각형의 넓이 공식을 사용하면 삼각형의 넓이를 구할 수 있습니다. 다만 더 손쉽고 빠르게 계산하고 싶다면 헤론의 공식을 사용하는 것이 좋겠습니다.

그림과 같이 세 변의 길이가 5, 5, 4인 삼각형 $\rm{ABC}$에 대하여
$\cos$법칙에 의해
$\qquad$ $\qquad$ $\cos{\rm{B}}$ $=$ $\dfrac{5^{2}+5^{2}-4^{2}}{2 \times 5 \times 5}=\dfrac{34}{50}=\dfrac{17}{25}$

이고 $\sin^{2}\rm{B}+\cos^{2}\rm{B}=1$이므로

$\qquad$ $\qquad$ $\sin{\rm{B}}$ $=$ $\sqrt{ 1 - \cos^{2} \rm{B} } = \sqrt{ 1 - \bigg( \dfrac{17}{25} \bigg)^{2}}$$=\dfrac{336}{625}=\dfrac{4\sqrt{21}}{25}$

따라서

$\qquad$ $\qquad$ $S$ $=$ $\dfrac{1}{2}ac \sin{\rm{B}}$$=\dfrac{1}{2} \times 5 \times 5 \times \dfrac{4\sqrt{21}}{25} = 2 \sqrt{21}$