009. 내접원과 삼각형의 넓이 공식

내접원과 삼각형의 넓이 공식 소개

$S$ $=$ $r \times \dfrac{a+b+c}{2}$ ($S$ : 삼각형의 넓이) ($r$ : 내접원의 반지름)

공식을 증명하기 전에 '내접원과 내심'에 대해서 먼저 살펴본 후,

'내심의 성질'을 이용해 '내접원과 삼각형의 넓이 공식'을 증명하도록 하겠습니다.

 

내접원과 내심

1. 내접원: 한 다각형의 모든 변이 도형의 내부에서 접하는 원

2. 내심: 내접원의 중심

3. 삼각형의 내심

4. 삼각형의 내심의 작도: 삼각형의 세 내각의 이등분선의 교점을 찾는다.
5. 삼각형의 내심의 성질: 삼각형의 내심에서 세 변에 이르는 거리가 같다.

 

증명

삼각형 $\rm{ABC}$의 내심을 $\rm{O}$라고 하고, 내접원의 반지름을 $r$라 하자.

삼각형의 내심에 성질에 의해 내심에서 세 변에

이르는 거리는 모두 $r$이다. 따라서

 

$\qquad$ $\qquad$ $\triangle \rm{BOC}$ $=$ $\dfrac{1}{2} \times r \times a$ $=$ $\dfrac{1}{2}ra$

 

$\qquad$ $\qquad$ $\triangle \rm{AOC}$ $=$ $\dfrac{1}{2} \times r \times b$ $=$ $\dfrac{1}{2}rb$

 

$\qquad$ $\qquad$ $\triangle \rm{AOB}$ $=$ $\dfrac{1}{2} \times r \times c$ $=$ $\dfrac{1}{2}rc$

 

이고

 

$\qquad$ $\qquad$ $\triangle \rm{ABC}$ $=$ $\triangle \rm{BOC}$ $+$ $\triangle \rm{AOC}$ $+$ $\triangle \rm{AOB}$

 

이므로

 

$\qquad$ $\qquad$ $\triangle \rm{ABC}$ $=$ $\dfrac{1}{2}ra + \dfrac{1}{2}rb + \dfrac{1}{2}rc$

 

$\qquad$ $\qquad$ $\qquad$     $=$ $r \times \dfrac{a+b+c}{2}$

 

내심에 대한 또다른 성질

삼각형의 내심과 관련해 다음과 같은 성질도 있습니다.

삼각형의 두 꼭짓점과 내심을 이은 각의 나머지는 한 꼭짓점의 내각을 $\dfrac{1}{2}$배 한 뒤 $90^{\circ}$를 더한 것과 같다.

 

즉,

그림과 같은 삼각형 $\rm{ABC}$에 대하여 내심을 $\rm{O}$라 하자.

 

$\qquad$ $\qquad$ $\angle{\rm{AOC}}$ $=$ $\dfrac{1}{2} \angle{\rm{ABC}}+90^{\circ}$

 

이다. 이 성질이 참인 이유는 무엇일까요?

 

증명

 (그림에 표시된 기호 ■, ▼, ★을 각의 크기로 그대로 사용합니다.)

삼각형 $\rm{ABC}$에 대하여 세 내각의 합은

 

$\qquad$ $\qquad$ $2 \times$■ $+$ $2 \times$▼ $+$ $2 \times$★ $=$ $180^{\circ}$

 

$\qquad$ $\qquad$ ▼ $+$ ★ $=$ $\dfrac{1}{2} \times ( 180^{ \circ }  - 2 \times$■$)$ $=$ $90^{\circ}-$■

 

이고,

 

$\qquad$ $\qquad$ $\angle{\rm{AOC}}$ $=$ $180^{\circ}$ $-$ $($▼ $+$ ★$)$ $=$ $90^{\circ}+$■

 

이다. ■ $=$ $\dfrac{1}{2} \angle{\rm{ABC}}$이므로 

 

$\qquad$ $\qquad$ $\angle{\rm{AOC}}$ $=$ $\dfrac{1}{2} \angle{\rm{ABC}}+90^{\circ}$