008. 각과 삼각형의 넓이 공식

각과 삼각형의 넓이 공식 소개

$S$ $=$ $\dfrac{1}{2}ab\sin{\rm{C}}$ $\quad$$=$ $\dfrac{1}{2}bc\sin{\rm{A}}$  $\quad$$=$ $\dfrac{1}{2}ac\sin{\rm{B}}$  ($S$ : 삼각형 $\rm{ABC}$의 넓이)

각과 삼각형의 넓이 공식은 다음 방법을 이용해 증명할 수 있습니다.

 

증명

삼각형 $\rm{ABC}$의 꼭짓점 $\rm{A}$에서 $\overline{\rm{BC}}$에 내린 수선의 발을 $\rm{H}$라고 하고, $\overline{\rm{AH}}=h$라 하자.

 

$\qquad$ $\qquad$ $\sin{\rm{C}}$ $=$ $\dfrac{\overline{\rm{AH}}}{\overline{\rm{AC}}}$ $=$ $\dfrac{h}{b}$

 

이므로

 

$\qquad$ $\qquad$ $h$ $=$ $b\sin{\rm{C}}$

 

이다. 따라서

 

$\qquad$ $\qquad$ $S$ $=$ $\dfrac{1}{2} \times a \times h$ $=$ $\dfrac{1}{2}ab\sin{\rm{ C }}$

 

똑같은 방법으로 $\angle \rm{A}$, $\angle \rm{B}$에 대해서도 증명하면

 

$\qquad$ $\qquad$ $S$ $=$ $\dfrac{1}{2}ab\sin{\rm{C}}$

 

$\qquad$ $\qquad$     $=$ $\dfrac{1}{2}bc\sin{\rm{A}}$

 

$\qquad$ $\qquad$     $=$ $\dfrac{1}{2}ac\sin{\rm{B}}$

 

예제

그림과 같이 두 대각선이 교차되는 볼록사각형 $\rm{ABCD}$에 대하여 $\overline{\rm{AC}}=a$, $\overline{\rm{BD}}=b$이고, 두 대각선이 이루는 각의 크기가 $\theta$라 일 때,

 

$\qquad$ $\qquad$ (사각형 $\rm{ABCD}$의 넓이) $=$ $ab\sin{\theta}$

이다. 그 이유는 무엇인가?

예제 풀이

그림과 같이 두 대각선과 길이가 같고, 평행한 선분을 꼭짓점 $\rm{A}$, $\rm{B}$, $\rm{C}$, $\rm{D}$에 각각 붙여서 평행사변형 $\rm{EFGH}$를 만들자. 이때 두 대각선이 이루는 각의 크기가 $\theta$이므로, 두 대각선이 이루는 각과 동위각인 $\angle \rm{EFG}=\theta$이다.

$\qquad$ $\qquad$ (평행사변형 $\rm{EFGH}$의 넓이) $=$ $2\times$(삼각형 $\rm{EFG}$의 넓이)

 

이다. 한편

 

$\qquad$ $\qquad$ (삼각형 $\rm{EFG}$의 넓이) $=$ $\dfrac{1}{2}ab \sin{\theta}$

이므로 

$\qquad$ $\qquad$ (평행사변형 $\rm{EFGH}$의 넓이) $=$ $2\times \dfrac{1}{2}ab \sin{\theta}$ $=$ $ab\sin{\theta}$