011. 두 벡터가 생성하는 삼각형의 넓이 공식

두 벡터가 생성하는 삼각형의 넓이 공식 소개

$S$ $=$ $\dfrac{1}{2} \sqrt{ \left| \overrightarrow{\rm{OA}} \right\vert ^{2} \left\vert \overrightarrow{\rm{OB}} \right| ^{2} - \left( \overrightarrow{\rm{OA}} \cdot \overrightarrow{\rm{OB}} \right)^{2} }$ ($S$ : 삼각형 $\rm{AOB}$의 넓이)

두 벡터가 생성하는 삼각형의 넓이 공식은 다음과 같이 증명할 수 있습니다.

 

두 벡터가 생성하는 삼각형의 넓이 공식 증명

$\angle \rm{AOB} = \theta$라 하자.

삼각형 $\rm{AOB}$의 넓이 $S$는

$\qquad$ $\qquad$ $S$ $=$ $ \dfrac{1}{2} \left\vert \overrightarrow{\rm{OA}} \right\vert \left\vert \overrightarrow{\rm{OB}} \right\vert \sin{\theta}$ ……①

이고

$\qquad$ $\qquad$ $\sin^{2}{\theta}+\cos^{2}{\theta}=1$

$\qquad$ $\qquad$ $\sin{\theta} = \pm \sqrt{1-\cos^{2}{\theta}}$

$0^{\circ}<\theta<180^{\circ}$이므로 $\sin{\theta}>0$이므로

$\qquad$ $\qquad$ $\sin{\theta} = \sqrt{1-\cos^{2}{\theta}}$ ……②

이다. ①에 ②를 대입하면

$\qquad$ $\qquad$ $S$ $=$ $ \dfrac{1}{2} \left\vert \overrightarrow{\rm{OA}} \right\vert \left\vert \overrightarrow{\rm{OB}} \right\vert \sqrt{1-\cos^{2}{\theta}}$

이다. 한편 벡터의 내적의 정의에 의해

$\qquad$ $\qquad$ $\overrightarrow{\rm{OA}} \cdot \overrightarrow{\rm{OB}} = \left\vert \overrightarrow{\rm{OA}} \right\vert \left\vert \overrightarrow{\rm{OB}} \right\vert \cos{\theta}$

$\qquad$ $\qquad$ $\cos{\theta} = \dfrac{ \overrightarrow{\rm{OA}} \cdot \overrightarrow{\rm{OB}} }{ \left\vert \overrightarrow{\rm{OA}} \right\vert \left\vert \overrightarrow{\rm{OB}} \right\vert }$ ……③

이므로 ②에 ③를 대입하면

$\qquad$ $\qquad$ $S = \dfrac{1}{2} \left\vert \overrightarrow{\rm{OA}} \right\vert \left\vert \overrightarrow{\rm{OB}} \right\vert \sqrt{ 1- \left( \dfrac{ \overrightarrow{\rm{OA}} \cdot \overrightarrow{\rm{OB}} }{ \left\vert \overrightarrow{\rm{OA}} \right\vert \left\vert \overrightarrow{\rm{OB}} \right\vert } \right)^{2}}$

$\qquad$ $\qquad$     $=\dfrac{1}{2} \sqrt{ \left| \overrightarrow{\rm{OA}} \right\vert ^{2} \left\vert \overrightarrow{\rm{OB}} \right| ^{2} - \left( \overrightarrow{\rm{OA}} \cdot \overrightarrow{\rm{OB}} \right)^{2} }$