012. 사선 공식

사선 공식 소개

$$S={\displaystyle \frac{1}{2}}\left|\begin{array}{}{x}_1& x_2& x_3& x_1\\ y_1& y_2& y_3& y_1\end{array}\right|$$ $=$ ${\displaystyle \frac{1}{2}}$$|(x_1{y}_2+x_2{y}_3+x_3{y}_1)-(x_2{y}_1+x_3{y}_2+x_1{y}_3)|$ ($S$ : 삼각형의 넓이)

사선 공식은 신발끈 공식이라고도 불리는데, 2행 4열의 Vertical Matrix Form에서 [그림1]과 같이 계산하면 되기 때문이다.

 

[그림1] Vertical Matrix Form에서 계산하는 방법

 

이 사선 공식에 대해서는 다음과 같은 4가지 방법으로 증명해 보자.

$$  ① 두 벡터가 생성하는 삼각형의 넓이 공식을 이용하는 방법

$$  ② 삼각형을 3개의 삼각형으로 나누는 방법

$$  ③ 삼각형을 3개의 사다리꼴로 나누어 구하는 방법

$$  ④ 벡터의 외적을 이용하는 방법

증명① 두 벡터가 생성하는 삼각형의 넓이 공식을 이용하는 방법

$\mathrm{O}$ $=$ $(0,0)$, $\mathrm{A}$ $=$ $(x_1,y_1)$, $\mathrm{B}$ $=$ $(x_2,y_2)$, $\mathrm{C}$ $=$ $(x_3,y_3)$라 하자.

$$ $\overrightarrow{\mathrm{B}\mathrm{A}}$ $=$ $\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{A}}$ $-$ $\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{B}}$

$$         $=$ $(x_1-x_2,y_1-y_2)$

$$  $\overrightarrow{\mathrm{B}\mathrm{C}}$ $=$ $\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{C}}$ $-$ $\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{B}}$

$$         $=$ $(x_3-x_2,y_3-y_2)$

이므로 두 벡터가 생성하는 삼각형의 넓이 공식에 의해 삼각형의 넓이 $S$는

    $S$ $=$ ${\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{{\left|\overrightarrow{\mathrm{B}\mathrm{A}}\right|}^2{\left|\overrightarrow{\mathrm{B}\mathrm{C}}\right|}^2-{(\overrightarrow{\mathrm{B}\mathrm{A}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{B}\mathrm{C}})}^2}$

        $=$ ${\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{\{(x_1-x_2{)}^2+(y_1-y_2{)}^2\}\{(x_3-x_2{)}^2+(y_3-y_2{)}^2\}-{\{(x_1-x_2)(x_3-x_2)+(y_1-y_2)(y_3-y_2)\}}^2}$

이다.

$$ $\alpha$ $=$ $x_1-x_2$,  $\beta$ $=$ $y_1-y_2$,  $\gamma$ $=$ $x_3-x_2$,  $\delta$ $=$ $y_3-y_2$

로 치환하면

$$  $S$ $=$ ${\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{({\alpha }^2+{\beta }^2)({\gamma }^2+{\delta }^2)-{(\alpha \gamma +\beta \delta )}^2}$

$$      $=$ ${\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{{\alpha }^2{\gamma }^2+{\alpha }^2{\delta }^2+{\beta }^2{\gamma }^2+{\beta }^2{\delta }^2-{\alpha }^2{\gamma }^2-2\alpha \beta \gamma \delta -{\beta }^2{\delta }^2}$

$$      $=$ ${\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{{\alpha }^2{\delta }^2+{\beta }^2{\gamma }^2-2\alpha \beta \gamma \delta }$

$$      $=$ ${\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{{(\alpha \delta -\beta \gamma )}^2}$

$$      $=$ ${\displaystyle \frac{1}{2}}|\alpha \delta -\beta \gamma |$

이다. 이를 역으로 정리하면

$$ $S$ $=$ ${\displaystyle \frac{1}{2}}|(x_1-x_2)(y_3-y_2)+(y_1-y_2)(x_3-x_2)|$

$$      $=$ ${\displaystyle \frac{1}{2}}|(x_1{y}_3-x_1{y}_2-x_2{y}_3+x_2{y}_2)-(x_3{y}_1-x_2{y}_1-x_3{y}_2+x_2{y}_2)|$

$$      $=$ ${\displaystyle \frac{1}{2}}|(x_1{y}_2+x_2{y}_3+x_3{y}_1)-(x_2{y}_1+x_3{y}_2+x_1{y}_3)|$

 

증명② 삼각형을 3개의 삼각형으로 나누는 방법

삼각형 $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$를 [그림2]와 같이 세 개의 삼각형 $S_1$, $S_2$, $S_3$으로 나눈다.

(단, 점선은 각 꼭짓점에서 $x$축, $y$축에 내린 수선이다.)

[그림2] 세 개의 삼각형으로 분리된 삼각형 $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$

 

이때 삼각형 $S_2$의 넓이는 [그림3]과 같이 빨간색 삼각형의 넓이와 같다.

[그림3] $S_2$와 빨간색 삼각형의 비교

왜냐하면 밑변과 높이가 같기 때문이다.

마찬가지 이유로 [그림4]와 같이 삼각형 $S_3$의 넓이는 파란색 삼각형의 넓이와 같다.

[그림4] $S_3$와 파란색 삼각형의 비교

따라서 삼각형의 넓이 $S$는

$$ $$ $S$ $=$ $S_1+S_2+S_3$

$$ $$    $=$ $S_1+$(빨간색 삼각형의 넓이)+(파란색 삼각형의 넓이)

이다.

$$ $$ $S_1={\displaystyle \frac{1}{2}}(x_1-x_2)(y_1-y_2)$

$$ $$ (빨간색 삼각형의 넓이)$=$ $S_2$ $={\displaystyle \frac{1}{2}}(x_1-x_2)(y_2-y_3)$

$$ $$ (파란색 삼각형의 넓이)$=$ $S_3$ $={\displaystyle \frac{1}{2}}(x_3-x_1)(y_1-y_2)$

이므로

$$ $$ $S$ $=$ $S_1$ $+$ $S_2$ $+$ $S_3$

$$ $$     $=$ ${\displaystyle \frac{1}{2}}(x_1-x_2)(y_1-y_2)+{\displaystyle \frac{1}{2}}(x_1-x_2)(y_2-y_3)+{\displaystyle \frac{1}{2}}(x_3-x_1)(y_1-y_2)$

$$ $$     $=$ ${\displaystyle \frac{1}{2}}\{(x_1{y}_2+x_2{y}_3+x_3{y}_1)-(x_2{y}_1+x_3{y}_2+x_1{y}_3)\}$

이다. 이 방법은 다른 사분면에서도 동일하게 적용이 가능하고, $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$를 어떻게 선택하느냐에 따라 음의 넓이가 나올 수 있어 절댓값을 붙인다. 따라서

$$ $$ $S$ $=$ ${\displaystyle \frac{1}{2}}|(x_1{y}_2+x_2{y}_3+x_3{y}_1)-(x_2{y}_1+x_3{y}_2+x_1{y}_3)|$

 

증명③ 삼각형을 3개의 사다리꼴로 나누어 구하는 방법

삼각형 $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$에 대하여 [그림5]와 같은 세 개의 사다리꼴을 고려한다.

(단, 점선은 각 꼭짓점에서 $x$축에 내린 수선이다.)

[그림5] 삼각형 $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$와 세 사다리꼴 $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{P}\mathrm{Q}$, $\mathrm{A}\mathrm{Q}\mathrm{R}\mathrm{C}$, $\mathrm{B}\mathrm{P}\mathrm{R}\mathrm{C}$

삼각형 $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$의 넓이 $S$는

$$ $$ $S$ $=$ (빨간색 사다리꼴의 넓이) $+$ (파란색 사다리꼴의 넓이) $-$ (녹색 사다리꼴의 넓이)

이다.

$$ $$ (빨간색 사다리꼴의 넓이) $=$ $◻\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{P}\mathrm{Q}$ $=$ ${\displaystyle \frac{1}{2}}(y_1+y_2)(x_1-x_2)$

$$ $$ (파란색 사다리꼴의 넓이) $=$ $◻\mathrm{A}\mathrm{Q}\mathrm{R}\mathrm{C}$ $=$ ${\displaystyle \frac{1}{2}}(y_3+y_1)(x_3-x_1)$

$$ $$ (녹색 사다리꼴의 넓이) $=$ $◻\mathrm{B}\mathrm{P}\mathrm{R}\mathrm{C}$ $=$ ${\displaystyle \frac{1}{2}}(y_2+y_3)(x_3-x_2)$

이므로

$$ $$ $S$ $=$ $◻\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{P}\mathrm{Q}$ $+$ $◻\mathrm{A}\mathrm{Q}\mathrm{R}\mathrm{C}$ $-$ $◻\mathrm{B}\mathrm{P}\mathrm{R}\mathrm{C}$

$$ $$     $=$ ${\displaystyle \frac{1}{2}}(y_1+y_2)(x_1-x_2)+{\displaystyle \frac{1}{2}}(y_3+y_1)(x_3-x_1)-{\displaystyle \frac{1}{2}}(y_2+y_3)(x_3-x_2)$

$$ $$     $=$ ${\displaystyle \frac{1}{2}}\{(x_1{y}_2+x_2{y}_3+x_3{y}_1)-(x_2{y}_1+x_3{y}_2+x_1{y}_3)\}$

이다. 이 방법은 다른 사분면에서도 동일하게 적용이 가능하고, $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$를 어떻게 선택하느냐에 따라 음의 넓이가 나올 수 있어 절댓값을 붙인다. 따라서

$$ $$ $S$ $=$ ${\displaystyle \frac{1}{2}}|(x_1{y}_2+x_2{y}_3+x_3{y}_1)-(x_2{y}_1+x_3{y}_2+x_1{y}_3)|$

 

증명④ 벡터의 외적을 이용하는 방법

증명④를 시작하기에 앞서 벡터의 외적(Cross Product)과 그 성질에 대해 알아보자.

 

[그림6]과 같이 벡터의 외적을 사용하기 위해 삼각형 $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$의 세 꼭짓점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$에 $z$좌표로 $0$을 추가하여 각 점의 평면좌표를 공간좌표로 바꾼다.

[그림6] 각 점의 평면좌표를 공간좌표로 바꾼 상황

삼각형 $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$의 내부에 찍은 임의의 점 $\mathrm{P}$에 대하여 [그림7]과 같이  삼각형 $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$은 세 개의 삼각형으로 나누어

$$ $$ $S_1$ : 삼각형 $\mathrm{A}\mathrm{P}\mathrm{B}$

$$ $$ $S_2$ : 삼각형 $\mathrm{B}\mathrm{P}\mathrm{C}$

$$ $$ $S_3$ : 삼각형 $\mathrm{A}\mathrm{P}\mathrm{C}$

라 하자.

[그림7] 세 개의 작은 삼각형으로 나눈 삼각형 $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$

이때, 원점 $\mathrm{O}$에 대하여

$$ $S$ $=$ $S_1$ $+$ $S_2$ $+$ $S_3$

$$     $=$ ${\displaystyle \frac{1}{2}}|\overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{A}}\times \overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{B}}|+{\displaystyle \frac{1}{2}}|\overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{B}}\times \overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{C}}|+{\displaystyle \frac{1}{2}}|\overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{C}}\times \overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{A}}|$

$$     $=$ ${\displaystyle \frac{1}{2}}|(\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{A}}-\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{P}})\times (\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{B}}-\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{P}})|$

$$ $$    $+$ ${\displaystyle \frac{1}{2}}|(\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{B}}-\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{P}})\times (\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{C}}-\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{P}})|$

$$  $$ $$    $+$ ${\displaystyle \frac{1}{2}}|(\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{C}}-\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{P}})\times (\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{A}}-\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{P}})|$

$$     $=$ ${\displaystyle \frac{1}{2}}|\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{A}}\times \overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{B}}-\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{A}}\times \overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{P}}-\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{P}}\times \overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{B}}+\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{P}}\times \overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{P}}|$

$$ $$    $+$ ${\displaystyle \frac{1}{2}}|\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{B}}\times \overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{C}}-\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{B}}\times \overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{P}}-\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{P}}\times \overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{C}}+\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{P}}\times \overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{P}}|$

$$ $$ $$    $+$ ${\displaystyle \frac{1}{2}}|\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{C}}\times \overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{A}}-\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{C}}\times \overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{P}}-\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{P}}\times \overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{A}}+\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{P}}\times \overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{P}}|$

$$     $=$ ${\displaystyle \frac{1}{2}}|\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{A}}\times \overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{B}}-\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{P}}\times (\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{B}}-\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{A}})|$

$$ $$    $+$ ${\displaystyle \frac{1}{2}}|\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{B}}\times \overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{C}}-\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{P}}\times (\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{C}}-\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{B}})|$

$$ $$ $$    $+$ ${\displaystyle \frac{1}{2}}|\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{C}}\times \overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{A}}-\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{P}}\times (\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{A}}-\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{C}})|$

$$     $=$ ${\displaystyle \frac{1}{2}}|\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{A}}\times \overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{B}}-\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{P}}\times \overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}|$

$$ $$    $+$ ${\displaystyle \frac{1}{2}}|\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{B}}\times \overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{C}}-\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{P}}\times \overrightarrow{\mathrm{B}\mathrm{C}}|$

$$ $$ $$    $+$ ${\displaystyle \frac{1}{2}}|\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{C}}\times \overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{A}}-\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{P}}\times \overrightarrow{\mathrm{C}\mathrm{A}}|$

$$     $=$ ${\displaystyle \frac{1}{2}}|\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{A}}\times \overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{B}}-\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{P}}\times \overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}+\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{B}}\times \overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{C}}-\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{P}}\times \overrightarrow{\mathrm{B}\mathrm{C}}+\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{C}}\times \overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{A}}-\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{P}}\times \overrightarrow{\mathrm{C}\mathrm{A}}|$

(※ $\overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{A}}\times \overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{B}}$, $\overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{B}}\times \overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{C}}$, $\overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{C}}\times \overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{A}}$는 모두 화면을 뚫고 나오는 방향으로 향하는 벡터이다. 즉, 세 백터 $\overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{A}}\times \overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{B}}$, $\overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{B}}\times \overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{C}}$, $\overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{C}}\times \overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{A}}$는 모두 방향이 같으므로 각 벡터의 크기의 합은 벡터의 합의 크기와 같다. 현재 이 증명의 과정에서는 계산과정에서 나타나는 반복을 더 효과적으로 표현하기 위해 이 단계에서 벡터의 크기의 합을 벡터의 합의 크기로 바꾸고 있지만, 처음부터 이 사실을 적용하여 계산해도 된다.)

$$     $=$ ${\displaystyle \frac{1}{2}}|\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{A}}\times \overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{B}}+\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{B}}\times \overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{C}}+\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{C}}\times \overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{A}}-\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{P}}\times (\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}+\overrightarrow{\mathrm{B}\mathrm{C}}+\overrightarrow{\mathrm{C}\mathrm{A}})|$

$$     $=$ ${\displaystyle \frac{1}{2}}|\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{A}}\times \overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{B}}+\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{B}}\times \overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{C}}+\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{C}}\times \overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{A}}|$ * 추가 설명 있음

$$     $=$ ${\displaystyle \frac{1}{2}}|(0,0,x_1{y}_2-x_2{y}_1)+(0,0,x_2{y}_3-x_3{y}_2)+(0,0,x_3{y}_1-x_1{y}_3)|$

$$     $=$ ${\displaystyle \frac{1}{2}}|(x_1{y}_2+x_2{y}_3+x_3{y}_1)-(x_2{y}_1+x_3{y}_2+x_1{y}_3)|$

 

* 추가 설명

삼각형 $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$ 내부의 임의의 점 $\mathrm{P}$에 대하여 삼각형 $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$를 세 개의 삼각형으로 나눈 뒤, 삼각형의 넓이를 외적을 이용하여 구해보면

$$ $$  $S$ $=$ ${\displaystyle \frac{1}{2}}|\overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{A}}\times \overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{B}}|+{\displaystyle \frac{1}{2}}|\overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{B}}\times \overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{C}}|+{\displaystyle \frac{1}{2}}|\overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{C}}\times \overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{A}}|$
$$ $$      $=$ ${\displaystyle \frac{1}{2}}|\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{A}}\times \overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{B}}+\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{B}}\times \overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{C}}+\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{C}}\times \overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{A}}|$

인 것을 알 수 있다.

이 결과는 벡터의 외적을 이용해 삼각형의 넓이를 구하는 과정에서 삼각형의 내부에 임의의 점 $\mathrm{P}$를 둘 필요 없이 원점을 시점으로 하는 벡터들의 외적을 이용하면 삼각형의 넓이를 구할 수 있다는 것을 의미한다.
[그림8]을 이용하여
$$ $$ $S$ $=$ ${\displaystyle \frac{1}{2}}|\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{A}}\times \overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{B}}+\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{B}}\times \overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{C}}+\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{C}}\times \overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{A}}|$
을 조금 더 살펴보자.

[그림8] 공간 위의 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$에 대한 위치벡터

[표1] 벡터의 외적과 삼각형 넓이에 대한 해석

즉, [표1]을 살펴보면
$$ $$ $S$ $=$ ${\displaystyle \frac{1}{2}}|\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{A}}\times \overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{B}}+\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{B}}\times \overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{C}}+\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{C}}\times \overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{A}}|$
은
$$ $$ $S$ $=$ $\mathrm{△}\mathrm{B}\mathrm{O}\mathrm{A}$ $+$ $\mathrm{△}\mathrm{A}\mathrm{O}\mathrm{C}$ $-$ $\mathrm{△}\mathrm{B}\mathrm{O}\mathrm{C}$
를 의미한다는 것을 알 수 있다.

 

생각해보기

일반적으로 좌표가 주어진 $n$각형의 넓이도 사선 공식과 비슷한 방법으로 구할 수 있다.
즉, $n$각형의 꼭짓점의 좌표를 $(x_1,y_1)$, $(x_2,y_2)$,  $(x_3,y_3)$, …, $(x_n,y_n)$라 하면
$n$각형의 넓이 $S$는
$$ $S={\displaystyle \frac{1}{2}}|\sum _{k=1}^n(x_k{y}_{k+1}-x_{k+1}{y}_k)|$
$$    $={\displaystyle \frac{1}{2}}|(x_1{y}_2+x_2{y}_3+x_3{y}_4+\dots +x_n{y}_1)-(x_2{y}_1+x_3{y}_2+x_4{y}_3+\dots +x_1{y}_n)|$
이다.