002. 정삼각형의 높이

공식 소개

$h=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$$a$ ($h$ : 정삼각형의 높이)

정삼각형의 높이 공식은 다음 두 가지 방법을 이용해 증명할 수 있습니다.

 

증명 / Method 1 

그림과 같이 삼각형 $\rm{ABC}$을 한 변의 길이가 $a$인 정삼각형이라고 하고, 점 $\rm{A}$에서 내린 수선의 발을 점 $\rm{D}$라고 하자.

직선 $\rm{AD}$는 선분 $\rm{BC}$의 수직이등분선이므로

 

$\qquad$  $\qquad$ $\overline{\rm{BD}}=\dfrac{1}{2}a$

 

이다. 피타고라스의 정리에 의해

 

$\qquad$  $\qquad$  $\overline{\rm{AD}}^{2}$ $+$ $\overline{\rm{BD}}^{2}$ $=$ $\overline{\rm{AB}}^{2}$

 

이므로

 

$\qquad$  $\qquad$  $\overline{\rm{AD}}^{2}$ $+$ $\left( \dfrac{1}{2} a \right)^{2} $ $=$ $a^{2}$

 

$\qquad$  $\qquad$  $\overline{\rm{AD}}^{2}$ $=$ $\dfrac{3}{4}$ $a^{2}$

 

따라서

 

$\qquad$  $\qquad$  $($삼각형 $\rm{ABC}$의 높이$)=$$\overline{\rm{AD}}$ $=h=$ $\dfrac{ \sqrt{3} }{2}$ $a$

 

 

증명 / Method 2 

앞과 마찬가지로 삼각형 $\rm{ABC}$을 한 변의 길이가 $a$인 정삼각형이라고 하고,

점 $\rm{A}$에서 내린 수선의 발을 점 $\rm{D}$라고 하자.

 

삼각형 $\rm{ABD}$는 $\angle$ $\rm{ABD}$ $=$ $60^{\circ}$,  $\angle$ $\rm{BDA}$ $=$ $90^{\circ}$인 직각삼각형이므로

 

$\qquad$ $\qquad$  $ \sin 60^{\circ} = \dfrac{\overline{\rm{AD}}} {\overline{\rm{AB}}} $

 

$\qquad$ $\qquad$ $ \dfrac{ \overline{\rm{AD}} }{a} $ $ = $ $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

 

따라서

 

$\qquad$  $\qquad$  $($삼각형 $\rm{ABC}$의 높이$)=$$\overline{\rm{AD}}$ $=h=$ $\dfrac{ \sqrt{3} }{2}$ $a$