001. 정삼각형의 넓이 공식

공식 소개

$S=\dfrac{\sqrt{3}}{4}$$a^{2}$ ($a$ : 정삼각형의 한 변의 길이) ($ S $ : 정삼각형의 넓이)

정삼각형의 넓이 공식은 두 가지 방법으로 증명할 수 있습니다.

 

증명 / Method 1 

그림과 같이 삼각형 $\rm{ABC}$을 한 변의 길이가 $a$인 정삼각형이라고 하고, 점 $\rm{A}$에서 내린 수선의 발을 점 $\rm{D}$라고 하자.

직선 $\rm{AD}$는 선분 $\rm{BC}$의 수직이등분선이므로

$\qquad$  $\qquad$ $\overline{\rm{DC}}=\dfrac{1}{2}a$

이다. 피타고라스의 정리에 의해

$\qquad$  $\qquad$  $\overline{\rm{AD}}^{2}$ $+$ $\overline{\rm{DC}}^{2}$ $=$ $\overline{\rm{AC}}^{2}$

이므로

$\qquad$  $\qquad$  $\overline{\rm{AD}}^{2}$ $+$ $\left( \dfrac{1}{2} a \right)^{2} $ $=$ $a^{2}$

$\qquad$  $\qquad$  $\overline{\rm{AD}}^{2}$ $=$ $\dfrac{3}{4}$ $a^{2}$

$\qquad$  $\qquad$  $\overline{\rm{AD}}$ = $($삼각형 $\rm{ABC}$의 높이$)$ $=$ $\dfrac{ \sqrt{3} }{2}a$

따라서

$\qquad$  $\qquad$  $($삼각형 $\rm{ABC}$의 높이$)$ $=$ $\dfrac{1}{2}$ $\times$ $\overline{\rm{BC}}$ $\times$ $\overline{\rm{AD}}$ $=$ $\dfrac{1}{2}$ $\times$ $a$ $\times$ $\dfrac{ \sqrt{3} }{2}a$ $=$ $\dfrac{ \sqrt{3} }{4}$ $a^{2}$

 

 

증명 / Method 2 

앞과 마찬가지로 삼각형 $\rm{ABC}$을 한 변의 길이가 $a$인 정삼각형이라고 하고,

점 $\rm{A}$에서 내린 수선의 발을 점 $\rm{D}$라고 하자.

 

삼각형 $\rm{ABD}$는 $\angle$ $\rm{ABD}$ $=$ $60^{\circ}$,  $\angle$ $\rm{BDA}$ $=$ $90^{\circ}$인 직각삼각형이므로

$\qquad$ $\qquad$  $ \sin 60^{\circ} = \dfrac{\overline{\rm{AD}}} {\overline{\rm{AB}}} $

$\qquad$ $\qquad$ $ \dfrac{ \overline{\rm{AD}} }{a} $ $ = $ $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

이므로

$\qquad$  $\qquad$  $ \overline{ \rm{AD} } = \dfrac{ \sqrt{3} }{2} a $

따라서

$\qquad$  $\qquad$  $($삼각형 $\rm{ABC}$의 높이$)$ $=$ $\dfrac{1}{2}$ $\times$ $\overline{\rm{BC}}$ $\times$ $\overline{\rm{AD}}$ $=$ $\dfrac{1}{2}$ $\times$ $a$ $\times$ $\dfrac{ \sqrt{3} }{2}a$ $=$ $\dfrac{ \sqrt{3} }{4}$ $a^{2}$